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[求助] 已知圆O外两点A与B,圆上的点P,如何求PA+PB的最小值?

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发表于 2020-5-7 08:53:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知圆O外两点A与B,圆上的点P,如何求PA+PB的最小值?
这我在抖音上看到的问题,
有个人评论说,PA+PB,形成一簇簇椭圆,
然后当椭圆正好与圆相切的时候,PA+PB距离最小(也可能最大),
问题是如何用尺规作图的办法找到答案呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-7 13:39:36 | 显示全部楼层
椭圆簇是一般情况,但还要考虑退化情形。
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 楼主| 发表于 2020-5-7 14:37:33 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2020-5-7 13:39
椭圆簇是一般情况,但还要考虑退化情形。

给点有用的回答吧,我想知道如何尺规作图

点评

如何知道这个点一定可以通过尺规作图求出来?解决问题之前一般先考虑存在性,再考虑怎么求。如果尺规作图法能给出解的这种存在性都不能保证,那会白白耗费不少精力(比如只有一些特殊情况和退化情况才可尺规作出来)。  发表于 2020-5-7 19:32
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发表于 2020-5-9 07:39:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2020-5-9 07:42 编辑

若三角形OAB的费马点在圆上则此时PA+PB最小。
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发表于 2020-5-9 10:08:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-9 13:44 编辑
aimisiyou 发表于 2020-5-9 07:39
若三角形OAB的费马点在圆上则此时PA+PB最小。


你已经接近实现尺规作图,一步之遥
为了帮你尽快成功,提供一幅精确比例的图片
p在圆上转1周,PA+PB 形成心形线(橘红色)
P是最小值点
Q是最大值点
换了一张更清晰的图片
最小值202000508.png
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发表于 2020-5-9 11:36:31 | 显示全部楼层
利用椭圆焦点光学性质,问题转化为找出P点,使得OP为角APB的角平分线即可。是否能尺规作图,取决于P点坐标与A、B点坐标之间的内在代数关系,如果存在立方根式且又无法开尽的,那么不可能尺规作图找出P点。

点评

@dlpg070,椭圆就是以A、B为焦点的椭圆,不一定非要在坐标轴上。椭圆光学性质跟正斜无关(即与坐标轴无关),另外,并没听说过数学中有“焦心”的概念。  发表于 2020-5-11 12:43
通常所谓的椭圆簇是斜椭圆,不是正椭圆(焦心在x或y轴),因而角分线无用  发表于 2020-5-10 14:01
椭圆在哪里?  发表于 2020-5-10 13:13
@dlpg070,只要椭圆跟圆相切,那OP就一定是角平分线(法线),这是椭圆镜面的光学性质。  发表于 2020-5-10 11:24
由图片观察似乎:OP一般不是角APB的角平分线,除非A ,B在同一个园上  发表于 2020-5-9 13:50
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发表于 2020-5-9 17:40:39 | 显示全部楼层
这个问题早就有定论了,一般是无法尺规作图完成的,例如单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $P$,$A(2,1)$,$B(-1,3)$,那么 $PA+PB$ 的最小值是方程
\[
35721 - 212072t^2 + 58479t^4 - 3570t^6 + 50t^8=0
\]
的根,这个方程的根不能尺规作图的。
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发表于 2020-5-10 15:18:21 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2020-5-9 17:40
这个问题早就有定论了,一般是无法尺规作图完成的,例如单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $P$,$A(2,1)$,$B(-1,3 ...

我解方程 实数解{{t->-2.16627},{t->-0.431738},{t->0.431738},{t->2.16627}}
其中2个正数解,不知对否?好像数值小了,可能我的方程系数有手误?
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 楼主| 发表于 2020-5-11 09:29:30 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2020-5-9 17:40
这个问题早就有定论了,一般是无法尺规作图完成的,例如单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $P$,$A(2,1)$,$B(-1,3 ...

我看抖音上有人出这个题的,我以为有解的,所以到论坛上问一下!
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发表于 2020-5-11 12:33:10 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-5-10 15:18
我解方程 实数解{{t->-2.16627},{t->-0.431738},{t->0.431738},{t->2.16627}}
其中2个正数解,不知对否? ...

那个方程有四个正数解,近似值从小到大排列分别是0.4206925835,2.196613573,4.11127023,7.035294141,但 $PA+PB$ 的最小值并不是最小的正根, $PA+PB$ 的最大值是这个方程的最大正根。
1.png
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