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[提问] 这道初中还是高中几何题有简单解法吗?

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发表于 2020-5-21 09:07:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2020-5-21 09:15 编辑

在抖音上看到的,
不知道是初中题目还是高中题目,
在矩形ABCD中,∠EAF=45°,求EF的最小值。
我想知道最简单的方法有多简单
AB=2
AD=4


QQ截图20200521090727.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-21 10:36:13 | 显示全部楼层
最小值刚好在边界上,即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。
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 楼主| 发表于 2020-5-21 11:55:14 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上,即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。
  1. (*这道初中还是高中几何题有简单解法吗?
  2. https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=17286&fromuid=865
  3. (出处: 数学研发论坛)*)
  4. Clear["Global`*"];
  5. (*a=2;b=4;*)
  6. (*假设AB=a,AD=b,BF=x,DE=y*)
  7. (*根据正切和相加等于45度正切,用x表示y*)
  8. ans=Flatten@Solve[{(x/a+y/b)/(1-x/a*y/b)==1},{y}]
  9. (*求解出距离的平方的表达式*)
  10. EF2=(b-x)^2+(a-y)^2/.ans//FullSimplify
  11. (*求解出导数的零点*)
  12. aaa=Solve[D[EF2,x]==0,{x}]//FullSimplify
  13. (*计算两边的长度,看是否构成等腰直角三角形*)
  14. ({b-x,a-y}/.ans)/.aaa//FullSimplify
复制代码

求解出来结果
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}-a\right\},\left\{x\to \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}-a\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}-a+b\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}-a+b\right)\right\}\right\}\]

\[
\begin{array}{cc}
\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b & \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
-\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b & -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
\frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) & \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) & \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\end{array}
\]
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 楼主| 发表于 2020-5-21 11:55:48 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上,即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

有没有办法证明CEF必然是等腰直角三角形
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 楼主| 发表于 2020-5-21 11:58:09 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上,即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

@黑星阿酷:取EF中点G,连接CG.
易知:EF=2CG
所以求出CG最小值就好了,点到线垂直最短,中线与垂线重合,△FCE为等腰直角三角形,不难看出,F在BC中点,E与D重叠时,满足条件,答案:2√2

这是某个人的回复,但是我没看明白为什么是等腰直角三角形最短,你能看明白吗?
我在三楼已经证明了确实是等腰直角三角形

点评

这个证明错误,有漏洞,忽视了边长的限制影响!  发表于 2020-5-21 15:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-5-21 16:38:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-21 16:42 编辑
hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上,即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。


AB=2 AD=4 画出几何图形,全清楚了 AP=PD 角APD=90度
AB=8 AD=9 只能编码求解 AE顺时针转约20度得最小值

AB=2 AD=4 AE=0度时最小

AB=2 AD=4 AE=0度时最小

AB=8 AD=9 AE约20度时最小

AB=8 AD=9 AE约20度时最小

点评

编码计算结果 FE最小值=7.07107 AE顺时针转角= 18.4349度(粗估20度)  发表于 2020-5-22 17:39
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发表于 2020-5-21 20:56:37 | 显示全部楼层
如果CE<CF,则可作等腰三角形CEG,易知在钝角三角形FGE中,钝角所对的边EF >EG.
故EF取得最小时必然与EG重合。
无标题.png
更显明的分析如下:
AFGE四点共圆,圆心在EG的中垂线,即角C的平分线上,EF是1/4圆弧所含的弦。最小弦对应于最小圆。
过A并与BC和CD都相交的圆中,显然同时与两边相切者最小。
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发表于 2020-5-21 21:35:12 | 显示全部楼层
为了作出保持角EAF=45度的动线段EF,一个比较简明的方法是在角 C 的平分线上取动点O为圆心,作过A的圆,然后取交点E,F。
显然`EF=\sqrt2OA`, EF最小对应于OA最小。
那么取A到那个角平分线的垂直距离不是最小吗?
问题是不一定取得到,得保持圆与边不相离。
无标题.png

点评

是吗,那就是我年长吧^_^  发表于 2020-5-22 09:44
为什么你总是比我聪明?  发表于 2020-5-22 08:51
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发表于 2020-5-22 04:58:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-22 05:09 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-21 16:38
AB=2 AD=4 画出几何图形,全清楚了 AP=PD 角APD=90度
AB=8 AD=9 只能编码求解 AE顺时针转约20度得最小 ...

是这样吗?心里没底,请您找几个反例。

已知AB<AD<2AB,EF有最小值:

\(\D CE=CF=AB+AD-\sqrt{2AB*AD}\)
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发表于 2020-5-22 08:49:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-22 20:20 编辑
[size=2]王守恩 发表于 2020-5-22 04:58
是这样吗?心里没底,请您找几个反例。

已知AB


回复王守恩,
编码计算已完成,利用 NMinimize 编码,很简单,很快
已采用多种方法验算,你再验算一下,有些数很可疑,仅供参考,
在可编辑时间内暂时删除 ,测试中
5个计算实例

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