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[欣赏] 扩展四阶幻方

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发表于 2020-10-6 01:31:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一、扩展四阶幻方
最近有人在@wayne的聊之斋微信群中问到一个填数谜题:
请将1~24不重不漏地填入如图所示24个格子中,使得所有的18个平立正方形,各四角之和皆相等。
扩展四阶幻方(空).png 格子的编号按Excel表格形式.PNG
精华

这个图可称之为扩展四阶幻方,因为其中间4×4正方形构成一个四阶模幻方。

显然,扩展部分的相邻两格如 A3与A4 可以互换,C1与D1,C6与D6,F3与F4亦是。
仿佛这不是两格,而是在一个长条格中填的两个数。
为了消除这种缺陷,我们给它增加一种约束,要求像 {A3,C1,E3,C5}这样的倾斜45°的3×3正方形的四角之和也等于上述规定的和。
我们以下欣赏的就是这种增加了约束的扩展四阶幻方。
                 
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-6 12:26:57 | 显示全部楼层

二、四阶模幻方

【定义1】 (四阶模幻方)指每格填有 `\{a_1, a_2, a_3, …, a_{16}\}` 中1个数的无穷大方格网,其上任一4×4正方形中恰好包含`\{a_1, a_2, a_3, …, a_{16}\}`这16个数,并且构成一个四阶幻方。
容易证明,四阶模幻方是周期性的,为其上任一个4阶幻方的平铺。因此一般也用其上的任意一个4阶幻方代表该模幻方。
显然,一个4阶模幻方有16个代表幻方。它们是我们拿着一个4×4正方形取景框在同一个模幻方不同位置的平移取景。

【四阶模幻方性质1】 四阶模幻方中任一平立正方形的四角之和等于幻和。

这个性质容易证明,简述如下:
正方形的四角组只有两种:1、2×2正方形的四角,2、3×3正方形的四角。
(或曰还有4×4正方形的四角呀,由于周期性,这个在模幻方中就是一个2×2正方形)
模幻方可以划分为4个2×2方块,或者4个3×3正方形的四角组。
记4块的和为`∑_{11}, ∑_{12}, ∑_{21}, ∑_{22}` , 它们显然构成一个2阶幻方,故`∑_{11}=∑_{12}=∑_{21}=∑_{22}=∑`(幻和)。

反过来,如果按平立正方形等和约束来定义四阶模幻方,也能得出幻方各行、各列和各对角线等和的结论。
因为任意两行(列)之合都是俩平立正方形之合,故行、列皆等和。
任意俩无公共格的正交对角线之合都是俩平立正方形之合,故对角线皆等和。
这就证明了上述扩展幻方的中间4×4正方形等价于一个4阶模幻方。

如图编号,在四阶模幻方中,按周期性有{A3+A4=E3+E4},{F3+F4=B3+B4}, {C1+D1=C5+D5}, {C6+D6=C2+D2},
因为本来就是{A3=E3, A4=E4},{F3=B3, F4=B4}, {C1=C5, D1=D5}, {C6=C2, D6=D2}
在扩展幻方中,自然不许{A3=E3, A4=E4},{F3=B3, F4=B4}, {C1=C5, D1=D5}, {C6=C2, D6=D2},
但是显然保持了{A3+A4=E3+E4},{F3+F4=B3+B4}, {C1+D1=C5+D5}, {C6+D6=C2+D2}
可见扩展幻方的扩展部分保持部分模属性(周期性),是一个不错的构思。

三、扩展部分的额外约束

【定义2】(对径格)四阶模幻方的一条对角线上的相间两格称为彼此的对径格。
    说明:这个定义是合理的,因为在两个方向的对角线上,对径格是同一个,故具有唯一性。
【四阶模幻方性质2】对径格之和等于幻和的一半。
比如:(B2+D4)+(C3+E5)=Σ(一条对角线),
               (B2+D4)+(B4+D2)=Σ(一个3×3平立正方形的四角),
               (B4+D2)+(C3+E5)=∑(一条对角线)
故  B2+D4=B4+D2=C3+E5=∑/2.
由于模幻方的周期性,所以其它对径格之和同样等于∑/2。
【定义3】(对偶数)和等于∑/2的两数。
    性质1表明对偶数正好处于对径格中。扩展幻方的备选数集大小对称地匹配为12对对偶数,在中间4×4部分包含了8对对偶数。故扩展部分包含了4对对偶数。
    增加的3×3倾斜正方形约束有一边正好是一对对径格,所以扩展部分所含4对对偶数也处于扩展“对径格”中,即
                                  A3+C1=D1+F3=F4+D6=C6+A4=∑/2.
容易证明,这使得 {C1,D2,E3,F4} 这样的扩展对角线四格之和也等于幻和。
PS:扩展格不能向内找对径格,比如C1不能找E3为对径格,否则会使得C1=C5(E3的对径格).
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 楼主| 发表于 2020-10-6 13:21:48 | 显示全部楼层
三、四阶模幻方的二进制参数解

四阶模幻方中的所有数同时减去1(更大也行),仍然是一个四阶模幻方。所以如果其中包括1,就可以变成包含0。
我们取B2=0的代表幻方,容易证明 D4=E4+D3+C4+D5=∑/2。(有标尺标记格位)
取E4=a, D3=b, C4=c, D5=d, 易得四阶模幻方的其它各格用a,b,c,d表示如下(省略了加号):
四阶模幻方的二进制参数解.PNG
这个参数解妙在16格包含的参数刚好取自{a,b,c,d}的幂集。
所以,要使得各数为0, 1, 2, …, 14, 15,当且仅当{a,b,c,d}={1,2,4,8}.
即各数用二进制表示,幻和=1111的2倍,各符合幻和约束的四数合计刚好各位各含两个1.

abcd的环排列为6个,再取消环向差别,则为3个,所以四阶模幻方在排除旋转、反射对称的重复解后,只有3个本原解。
可以固定a=8, 让 c 取1, 2, 4即可得3个本原解(b,d反射对称,顺序任意)。
四阶模幻方的3个本原解.PNG
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 楼主| 发表于 2020-10-6 14:01:30 | 显示全部楼层

四、在扩展幻方中

在扩展幻方中,中间的4×4模幻方的取数不是0, 1, 2, 3, …, 14, 15. 因为这时∑=46,不再是30.
所以{a, b, c, d}不能取{1, 2, 4, 8}了。怎么办,二进制要如何兑现?
我们发现 1+2+4+16=23=∑/2, 所以可以取{a, b, c, d}={1, 2, 4, 16}.
也就是中间部分取5位二进数,第4位都是0. 为{0, 1, …, 7, 16, 17, …, 23}
扩展部分取4位二进数,首位都是1. 为{8, 9, …, 15}.
例如,取a=16, b=4, c=2, d=1得到两解如下:
扩展幻方两例.png
我们按3#的4阶模幻方参数解得到的扩展幻方参数解如下:
图中a=16, b=8, {c, d, e}={1, 2, 4}.
把图中的7,8,15,16,23等还原为cde, b, bcde, a, acde,可以观察到参数分布的均匀性。
扩展四阶幻方(参数解1&2).png
这两个图的中间部分是相同的,扩展部分有此两配。
原因在于扩展部分8格只有7个独立约束,故配解会比四阶模幻方多出一个参数来,结合连续整数条件,此参数可有两选。
{c, d, e}取{1, 2, 4}的排列为6种,故图中每个参数解实际包含6个数字解,实得12解。

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 楼主| 发表于 2020-10-6 14:17:13 | 显示全部楼层
五、扩展幻方“全解”

由于扩展幻方在整体上不具有模幻方那样的周期性,因此中间的4×4 模幻方的参数解不能固定为3#那一个代表。
要得到其它解,模幻方的取景框需要进行适当的平移,选取其它代表。
由于a=16, 像C2, D2这样与扩展部分相邻的两格不能同时出现参数 a, 否则C1+D1<46-32=14, 但扩展部分的取数集为{8~15}.
明此限制,根据参数 a 的分布特点可知取景框在水平方向只能以步长2列进行平移。
竖直方向可以取步长1~3行作平移,但是取景框下移 1 行(或者上移 3 行)使 0 位于左下角的结果,只是参数c, e的一个对易+上下反射变换,实为重复解。
同样,取景框上移 1 行(或者下移 3 行)使 16 位于右下角的结果,只是在上移(下移一样)2行的结果+参数c, e的一个对易+上下反射变换,实为上移2行的重复解。
可见不致重复的平移变换群为{+(0, 0), +(2, 0), +(0, 2), +(2, 2)},故可得到四种中心,每个中心有2种外配,故共有8个参数解。
全部参数解如下图所示:
图中a=16, b=8, {c, d, e}={1, 2, 4}.
图中每个参数解包含6个数字解,共可得48解。
四阶幻方扩展.png

点评

@mathe 这个图特别,有a=bb, 是我刚开始在群里聊天时作的图,那时没有细究非二进数解的情况。  发表于 2020-10-10 15:48
这个图中0在边上的三个好像有问题。比如上排中间的图,0下面俩数分别为acd,ce,最右边俩数为bce,bcd, 如果符合要求则必须acd+ce=bce+bcd, 即a=bb,这个通常情况应该不可以的  发表于 2020-10-10 14:32
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 楼主| 发表于 2020-10-6 14:21:45 | 显示全部楼层
六、不是结语

这种增加约束的扩展幻方是否只有这48解,是否存在参数 a 出现在外围、参数 b 出现在内部的解,暂时没有解决。
不增约束的原扩展幻方是有参数 a 出现在外围、参数 b 出现在内部的解的。下面是@chyanog给出的一例:
弱束扩展幻方一例.jpg
chyanog计算搜索过原弱约扩展幻方,透露不去重有117760个解。
那么除以8,滤掉旋转、反射对称的重复解后,还有14720解。
再除以16,滤掉扩展部分的相邻两格互换的重复解,还有920解。

也就是说,参数 a 出现在外围、参数 b 出现在内部的解还有920-48=872种,其中是否则存在符合加强约束者有待验证。
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 楼主| 发表于 2020-10-6 17:43:35 | 显示全部楼层

七、柳暗花明

利用一个参数解加入调节参数后,可找到参数 a 出外,参数 b 入内的2个新的强约扩展幻方。
以下是利用两个参数解调节得到的4个解。
例外强约扩展幻方.png
每个都可以这样调节得到两个解,故又找到16个新的强约扩展幻方。

猜想强约扩展幻方就这64个了。
chyanog搜到的剩下856个解中应该没有强约扩展幻方了。
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 楼主| 发表于 2020-10-7 02:25:59 | 显示全部楼层

八、一般参数解

扩展幻方的中间模幻方不一定有0,假定中间的最小数为e>0,
所有数都减去e后,中间重新变成含0模幻方,其参数解之一即为3楼图。
在含0参数解上全部加上 e, 即得一般解,如下图1所示:
无零幻方参数解.png
                  图1
然后据此配外围参数得
扩展幻方参数解1.png
                           图2a                                                                          图2b
0不在内,就在外围,比较一下可以知道必是e-f, 故取f=e, 代入得
扩展幻方参数解2.png
                           图3a                                                                          图3b
取{a,d}={8,4}, {b,c}={2,1}, e=4即得楼上4个数字解。
中间平移,外围随之调整,可得其它3对参数解。

点评

@mathe 你忘了外围增加了对径格约束?  发表于 2020-10-8 10:22
四个方向外围的参数'f'可以各自独立不同的,总共应该8个独立参数。a+b+c+d+e已知,所以内部四个独立参数,而每个方向的外围各一个独立参数  发表于 2020-10-8 07:57
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-10-7 15:00:52 | 显示全部楼层
厉害厉害,excel都用上了.
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 楼主| 发表于 2020-10-7 22:21:03 | 显示全部楼层

九、0在中间的一般参数解

4#所列的零在中间的参数解取定了 a=16, b=8, {c,d,e}={1, 2, 4}, 可能会漏掉很多其它解,我们重新检查一下。
0在中间4×4幻方左上角时参数解如下(其它位置可由此解如4#那样中间4×4重新取景得到):
扩展幻方参数解0.png
左右两解的中间相同,外围取数范围便相同,只需要作出左边的解,右解调整一下位置而已。
记 ad-f=g, 我们看到外围的取数范围\[
\begin{Bmatrix}f&b+f&g&b+g\\f+c&b+f+c&g+c&b+g+c
\end{Bmatrix}\]亦可排成\[
\begin{Bmatrix}f&c+f&g&c+g\\f+b&c+f+b&g+b&c+g+b
\end{Bmatrix}\]或者\[
\begin{Bmatrix}f&c+f&b+f&b+c+f\\g&c+g&b+g&b+c+g
\end{Bmatrix}\]即8个数分为4节, 每节两数之差相等。
有此特征,就不难计算搜索符合要求的{a, b, c, d},不需要完整的程序,人机对话足矣。搜索结果如下:
搜索结果.PNG

点评

哦,是5#。5#的参数解图有点特殊,可能需要重新阐述如何平移取景。  发表于 2020-10-8 13:37
4#中没有看到0在中心四格的情况,你是不是遗漏了?  发表于 2020-10-8 12:57
@是的。对于相同的{a,b,c,d}, 内外数组不变,内部取景平移,外部随之调整,共计4景,4#已显,以下各楼的解数亦据此而来。  发表于 2020-10-8 10:40
0不在外围时应该还有0在中间四格的情况。不考虑外围时,这些解和0在左上角等价,但是添加外围后就不同了  发表于 2020-10-8 08:07
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