数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 175|回复: 8

[讨论] 斯特瓦尔特定理的逆定理

[复制链接]
发表于 2020-10-12 21:44:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x

《几何瑰宝》中关于斯特瓦尔特定理的逆定理的证明有点问题,化简的时候默认PC+PB-BC=0了,而这正是需要证明的结论。在网上没找到正确的证明,这个结论怎么证明呢?
4.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-12 23:40:58 | 显示全部楼层
当P不是在角BAC内部,而是在平面上运动时,其轨迹是一条包含线段BC的闭曲线,我们要证明在∠ABC内部不会有其他点满足该等式:
5.jpg

点评

这个应该是绘图误差,底边上的点都是满足条件的  发表于 2020-10-15 11:04
直线段占不满角内,而是有一部分例外,很惊异。  发表于 2020-10-13 21:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 07:51:43 | 显示全部楼层
逆定理是错误的。
我们选择BP=PC=13,BC=24, 于是$\cos(/_BPA)=\cos(/_CPA)=5/13$
得出
$(AP^2+PB\times PC)(PB+PC)- 2AP\times PB \times PC (\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA))=AB^2\times PC+AC^2 \times BC $
如果需要逆定理成立,我们得出
$(AP^2+PB\times PC)(PB+PC-BC)=  2AP\times PB \times PC (\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA))$
也就是
$(AP^2+13^2)\times 2 = 2AP\times 13^2\times 10/13$
取AP=128.68673331236263055312938594235317619就可以满足条件(方程x^2 - 130*x + 169=0的根)

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
lsr314 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 很给力!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-13 13:05:04 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-10-12 23:40
当P不是在角BAC内部,而是在平面上运动时,其轨迹是一条包含线段BC的闭曲线,我们要证明在∠ABC内部不会有 ...

当$u$接近$1/2$而$v$接近$2$的时候,图形就有一部分到$∠BAC$内部了,所以会出现反例,即原逆命题不成立。$v$继续增大,轨迹的一个分支将近似于一个圆,各个方向都覆盖了。
那么当点P在△ABC内部的时候(不含边界),是否会有反例?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-13 13:05:45 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-10-13 07:51
逆定理是错误的。
我们选择BP=PC=13,BC=24, 于是$\cos(/_BPA)=\cos(/_CPA)=5/13$
得出

点P有没有可能出现在△ABC内部?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 13:12:08 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-10-13 13:05
点P有没有可能出现在△ABC内部?

不可能在三角形内部。公式
逆定理成立时,必然有表达式
$(AP^2+PB\times PC)(PB+PC-BC)=  2AP\times PB \times PC (\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA))$
成立,其中左边不小于0,这表示$(\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA)) \ge 0$.
而如果P在三角形内部,这两角之和大于180度,它们余弦值之和小于0.

点评

赞  发表于 2020-10-13 14:01
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-10-30 06:29 , Processed in 0.136073 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表