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[分享] 可能是涉及表盘指针运动的问题里最有趣和最难的一个

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发表于 2021-4-8 10:11:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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前几天看到了一个十分有意思的问题。个人花了很多时间,又在mathoverflow搜了下相关问题,才想出解答。

在此和大家分享一下。

现在有一个完美的表盘。里面的时针分针秒针,都精准平滑地转动。已知,三个指针的长度都是标准厘米的整数倍,但不一定相等

同时,0点和12点时刻,三指针共线。(并非说就这两个时刻共线,特意提一下,是因为这个相当于边界条件;校准起始点。)

试问:是否存在某个时刻,三个指针的尖端(看成是理想的几何点),可以组成一个正三角形。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-8 13:39:26 | 显示全部楼层
目测只有特殊长度可以(或许都不可以??)

比如秒针特别长而时针分针特别短的情况下,你就算把表拆了也得不到正三角形

特殊长度的话,大概是余弦定理解方程吧

点评

特殊值或可用于列出余弦定理方程之后消去平凡解,可以借此对余弦定理得到的高次方程降次,更多的……现在我是算不动了。  发表于 2021-4-8 20:27
一个可行的特殊值:时针长度为0,分针秒针等长——此时只要夹角位60度,自然是等边三角形  发表于 2021-4-8 20:19
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发表于 2021-4-8 22:32:20 | 显示全部楼层
关键的问题在于针的长度为整数,或者说有理数。假设旋转中心为O,三个指针顶点分别为A,B,C.

时针12小时一圈,分针1小时一圈,秒钟一小时60圈,所以角速度比为1:12:720.
如果改为以时针为参考系,那么时针不懂,分针角速度为11,秒针角速度为719.
所以可以假设时分秒针长度分别为整数a,b,c,某个时刻变为正三角形时分针和时针夹角为$11\alpha$,分针和秒针夹角为$708\alpha$
由余弦定理得到$a^2+b^2-2ab\cos(11\alpha) = b^2+c^2-2bc\cos(708\alpha) = c^2+a^2-2ca \cos(719\alpha)$

如果我们反过来先任意给定$\alpha$,并且指定a=1,然后保持三角形ABC为等腰三角形的过程中(让AB=AC)来不断的增加b,c的长度,所以只要$/_BOC$大于60度小于180度的情况下,必然有某一个时刻$/_BAC$会正好等于60度,这时三角形会转化为正三角形。而为一的问题时对于哪些$\alpha$(或者是否存在),这时b,c的长度都为有理数。
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发表于 2021-4-11 10:33:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-4-11 16:32 编辑

记正三角形边长为 x,时,分,秒针长度为整数 a,b,c, 则

\(\D x^2=\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{3(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)\ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ }{2}\)
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