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[讨论] 多项式逆求行列式的算法或者现成软件?

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发表于 2021-4-18 23:42:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有很多漂亮的几何公式是以行列式形式出现的。
带变量的行列式进行符号计算,结果就是一条多项式。那么当面对一条多项式,能否判定它是否为一个行列式,乃至逆求出那个行列式呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-19 08:17:18 | 显示全部楼层
1*1的行列式

点评

$ \abs{滚}$  发表于 2021-4-19 10:54
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发表于 2021-4-19 12:06:39 | 显示全部楼层
滚!!!!!!!!!!!
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发表于 2021-4-19 15:12:47 | 显示全部楼层
\(\left|\begin{matrix}
x&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&x&1&0&\cdots&0&0\\
0&0&x&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&1&0\\
0&0&0&0&\cdots&x&1\\
(-1)^na_0&(-1)^{n-1}a_1&(-1)^{n-2}a_2&(-1)^{n-3}a_3&\cdots&-a_{n-1}&a_n
\end{matrix}\right|\)
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 楼主| 发表于 2021-4-19 17:48:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2021-4-19 17:50 编辑
mathe 发表于 2021-4-19 15:12
\(\left|\begin{matrix}
x&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&x&1&0&\cdots&0&0\\


\(a d-b c=\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\right|)\

到三阶以上就不会直接猜出来了。
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发表于 2021-4-20 07:39:01 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-4-19 15:12
\(\left|\begin{matrix}
x&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&x&1&0&\cdots&0&0\\

你这个叫友矩阵吧,但是应该能更进一步简化。

多项式的友矩阵是怎么被想出来的? - 知乎
https://www.zhihu.com/question/46414987/answer/101960439
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 楼主| 发表于 6 天前 | 显示全部楼层
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 54&fromuid=3965
结尾
$L^2$与$s^2$的系数是否为某个行列式?
@wayne
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发表于 3 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 happysxyf 于 2021-5-11 02:22 编辑

实对称矩阵,必可对角化,特征值必为实数.只要该多项式全是实数根,就可以等价逆行为实对称矩阵, 系数可以有多种方法求出, Rq迭代..多种方法都行.
  1. 如果A是2阶矩阵, 特征多项式可以写为λ2;-tr(A)λ+det(A).
  2. 如果A是3阶矩阵, 特征多项式可以写为λ3-tr(A)λ2+tr(A*)λ-det(A).
  3. 如果A是4阶矩阵, 特征多项式可以写为λ⁴-tr(A)λ3+cλ2-tr(A*)λ+det(A), 其中c = (tr(A)2-tr(A2))/2.
复制代码

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 楼主| 发表于 3 天前 | 显示全部楼层
happysxyf 发表于 2021-5-11 02:17
实对称矩阵,必可对角化,特征值必为实数.只要该多项式全是实数根,就可以等价逆行为实对称矩阵, 系数可以有多 ...

这是一元变量的情形,多元的呢?
如二阶行列式结果a d-b c。

对称性,解析几何的行列式有变量上的美观对称性,但不是对角化的一元对称。
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