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[求助] 关于三角形垂心的一个恒等式

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发表于 2021-4-23 21:28:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 lihpb01 于 2021-4-23 21:31 编辑

假设H为三角形A1A2A3的垂心并位于三角形的内部,
A1、A2、A3在对边的垂足分别为H1、H2、H3,、

图片1.png

这个恒等式显然成立,当该三角形为直角三角形的时候恒等式变成勾股定理,但这只是局限于锐角三角形和直角三角形。
假如H在三角形外部即原三角形为钝角三角形的时候,这个恒等式有没有其他变形。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-4-23 21:32:19 | 显示全部楼层
反过来,假如在锐角三角形有这个恒等式成立,能否证明H就是三角形的垂心
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发表于 2021-4-24 17:46:24 | 显示全部楼层
如果A1是钝角,改成\(-A_1 H_1\cdot A_1 H\)
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 楼主| 发表于 2021-4-24 21:13:48 | 显示全部楼层

求证圆半径的一个恒等式

QQ图片20210424101959.png

如图,AB为圆O的直径。
H1、H2在圆O上且位于AB的同侧。
BH1、AH2在圆O内交于H。
求证
AH·AH1+BH·BH2=AB2
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 楼主| 发表于 2021-4-24 21:17:22 | 显示全部楼层
反过来,假设该等式成立,能否证明AB为圆O直径。
假设AB不为直径,AH*AH1+BH*BH2和AB2哪边大哪边小,求证明
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发表于 2021-4-24 22:05:51 | 显示全部楼层
这么多勾股定理,尽可能的聚集表达式是大方向,所以得到如下解答:
\[\begin{split}AH·AH_1+ BH·BH_2&=(AH^2+AH·HH_1)+(BH^2+BH·HH_2)\\&=(AH^2+2AH·HH_1)+BH^2\color{red}{(*AH·HH_1=BH·HH_2*)}\\&=(AH_1^2- HH_1^2)+BH^2\\&=AH_1^2+BH_1^2\\&=AB^2\end{split}\]
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发表于 2021-4-25 12:06:29 | 显示全部楼层
自H作HC⊥AB,垂足为C, 则AH2HC共圆,BH1HC共圆,所以\[\begin{split}AH·AH_1=AC·AB,BH·BH_2=BC·AB,\\AH·AH_1+BH·BH_2=AC·AB+BC·AB=AB^2\end{split}\]

由此,假定AB不是直径,则可以在AB上分别取得点C1、C2,使得 AH·AH1=AC1·AB,BH·BH2=BC2·AB
若∠AH1B=∠AH1B>90°, 则AC1+BC2<AB,AH·AH1+BH·BH2=(AC1+BC2)·AB<AB2
若∠AH1B=∠AH1B<90°, 则AC1+BC2>AB,AH·AH1+BH·BH2=(AC1+BC2)·AB>AB2
所以,若AH·AH1+BH·BH2=AB2,可以得出AB为直径。

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