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[求助] 关于垂心四面体的一个恒等式

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发表于 2021-4-25 21:46:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 lihpb01 于 2021-4-25 21:52 编辑

四面体A1A2A3A4为垂心四面体,垂心H位于四面体的内部。
A1、A2、A3、A4所对的底面面积分别为S1、S2、S3、S4
平面AiAjH与AiAj的对棱AkAl交于Hij
三角形AiAjH的面积表为Tij,三角形AiAjHij的面积表为Uij

显然有下面的恒等式

但这个恒等式的只是局限于垂心H在四面体A1A2A3A4的内部才成立,假设H在四面体的外部这个恒等式要怎么变形,求给出证明。

图片1.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-4-25 21:48:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 lihpb01 于 2021-4-25 21:55 编辑

反过来,假设这个恒等式成立,能否证明四面体A1A2A3A4为垂心四面体,且H为垂心

假如H不为垂心,则该四面体左边各侧面积平方和与右边2TijUij的求和,哪边大哪边小
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-27 09:28:01 | 显示全部楼层
垂心以及垂心的几何量(面积或距离平方)的表示均是各顶点或棱长平方的有理形式,因此如果结论成立,利用重心坐标是可以给出一个证明的,只是过程可能有点繁琐。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-4-27 22:02:30 | 显示全部楼层
一楼恒等式的证明非常简单,重心坐标都不需要。问题是当垂心位于四面体外部的时候,这个恒等式要怎么证明,以及当恒等式成立时能否判断出H为垂心。
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