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[讨论] 大于3的奇数中,不能写成 \(2^n + p\) 的形式的奇数 p 的概率

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发表于 2021-4-28 09:57:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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@awei 同学在 http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2045979 帖子提出了一个命题,任何一个大于3的奇数,都可以写成 \(2^n + p\) 的形式, 其中n>0, p为奇素数。
经初步编程验证,似这不满足要求的奇数 i  的概率还不小,并似乎有增大的趋势:
5..10^6 时, 约 7.9%
5..10^7 时, 约 8.4%
5..10^8 时, 约 8.9%

现求当 n 充分大时,不满足要求的奇数 i 的概率,或者给出上、下界估计。

其中统计的代码如下:
  1. using Primes

  2. n=10^8; ct=0;
  3. for i=5:2:n
  4.     a = 2; find = false;
  5.     while a < i
  6.         if isprime(i-a) find = true; break end
  7.         a = a*2;
  8.     end

  9.     if find == false ct=ct+1 end
  10. end
  11. println(2.0*ct/n)   
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-4-28 10:11:06 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-28 10:27:34 | 显示全部楼层
奇数n为素数的概率为$\frac{2}{\ln(n)}$
所以n充分大,满足条件概率大概为$\prod_{k=1}^{\log_2(n)} (1-\frac{2}{\ln(n-2^k)})\le (1-\frac{2}{\ln(n)})^{\log_2(n)} \to \exp(\frac{-2}{\ln(2)})$
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