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[讨论] 一个关于素数的问题

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发表于 2008-1-17 17:14:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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精华
我在网上看到一个问题,估计很难解决。
是说,
证明或否定,对于任意给定的正整数N,必然存在一个正整数$M,1<=M<=N$,使得 $M^2+N^2$ 是素数。

而且猜想可以加强到必然存在一个正整数M使得 $1<=M^2<=N$,使得 $M^2+N^2$ 是素数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-1-17 18:23:07 | 显示全部楼层
mathe 都说很难,看来确实很难了!我就不想了。不过应该不会比哥德巴赫猜想更难吧!!!
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发表于 2008-1-17 18:30:06 | 显示全部楼层
新手报到!
向大家学习!
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 楼主| 发表于 2008-1-17 21:35:09 | 显示全部楼层
其实有一个看起来反向的命题,有很好的结论:
请问,一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是什么?如果可以表示,有多少总不同的表示方法?
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发表于 2008-1-19 20:00:11 | 显示全部楼层
原帖由 mathe 于 2008-1-17 21:35 发表
其实有一个看起来反向的命题,有很好的结论:
请问,一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是什么?如果可以表示,有多少总不同的表示方法?


我所知道的是:除“2”外,一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是其被4除余1(即为4n+1型),且该表示法有且仅有一个。
(据说该定理最初由高斯提出,由欧拉首次运用“无穷递降法”证明,而后高斯用二次剩余给出了更简洁的证明。)
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 楼主| 发表于 2008-1-22 09:07:42 | 显示全部楼层
二次剩余法证明必要性很简单,不过好像很难证明充分性。
我见过的证明是用“无穷递降法”
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 楼主| 发表于 2008-1-22 09:10:35 | 显示全部楼层
比较有意思的是我做过一道题:
求5个不同的自然数, 使它们中的任意二个之和都是平方数,
先要求找到10000000以内的所有解。
我在搜索上面解的过程用到了上面的结论。
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发表于 2008-2-3 16:04:54 | 显示全部楼层
有意思,我试试......
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发表于 2008-2-4 00:49:03 | 显示全部楼层
原帖由 mathe 于 2008-1-17 21:35 发表
其实有一个看起来反向的命题,有很好的结论:
请问,一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是什么?如果可以表示,有多少总不同的表示方法?

当p=4k+1时有且只有一种表示方法,p=4k+3显然不可能
存在性证明可以用一点代数的知识
当p=4k+1时存在m使得p|m^2+1,所以p|(m+i)(m-i)
又p|(m+i) <=> p|(m-i)
因此p不是Z[ i ]中的素元
Gauss整数环Z[ i ]是PID(唯一分解环),
所以p=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2
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 楼主| 发表于 2008-2-4 07:40:49 | 显示全部楼层
这个用到了近世代数中Z[ i ]是唯一分解环的知识。不过我印象中唯一分解环的证明过程本身就同直接证明p=4k+1表示成两个平方数的和过程相同, 所以这样的证明过程不是很好
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